AABB obróconego łuku eliptycznego

Autor:	Wojciech Muła
Dodany:	25.03.2007

Łuk eliptyczny o środku (0, 0) dany jest parametrami:

• r_x — promień na osi X
• r_y — promień na osi Y
• rot — kąt obrotu
• start — początkowy kąt łuku
• end — końcowy kąt łuku (start ≤ end)

Postać parametryczna nieobróconego łuku P(t) = (x, y) = (rx ⋅ cost, ry ⋅ sint), gdzie t∈[start, end]

Żeby wyznaczyć pudełko otaczające potrzebne są następujące punkty:

1. P(start)
2. P(end)
3. punkty P(t_xmax) i P(t_ymax), tj punkty o maksymalnej współrzędnej x i y (punkty o minimalnych współrzędnych są odbite symetrycznie, przesunięte o pi)

Problem: jak wyznaczyć t_xmax i t_ymax?

Rozwiązanie: należy wyznaczyć kąty t punktów styczności obróconej elipsy ze stycznymi równoległymi do osi układu współrzędnych i wziąć tylko te, które leżą w przedziale start…end.

Punkt styczności nieobróconej elipsy i prostej o zadanej normalnej

Prosta dana jest wzorem ax + by + c = 0, gdzie dana jest normalna N = [a, b], c jest nieważne. Promienie elipsy to odpowiednio r_x i r_y. Elipsa jest przekształcana w okrąg o promieniu r_x (można oczywiście w okrąg o dowolnym promieniu, np. jednostkowy), tj. współczynniki skalowania wynoszą odpowiednio sx = 1 i sy = r_x/r_y. Przy skalowaniu wektory normalne są skalowane przez odwrotności współczynników, tj. N' = [a/sx, b/sy] = [a, b ⋅ r_x/r_y]. Stąd kąt odpowiadający punktowi styczności wynosi atan((b ⋅ r_x/r_y)/a).

Pudełko otaczające obróconej elipsy

Granice pudełka otaczającego wyznaczają proste równoległe do osi układu współrzędnych. Gdy kąt obrotu =0, wówczas normalne do tych prostych to N_x = [1, 0] i N_y = [0, 1]. Po obróceniu o kąt rot normalne są dane jako N_x = [sin(rot), cos(rot)] oraz N_y = [ − cos(rot), sin(rot)]. Wystarczy teraz wyznaczyć punkty styczności obróconych normalnych i nieobróconej elipsy, a to już wiadomo jak zrobić.

Ostatecznie funkcja wyznaczająca pudełko otaczające ma postać:

from math import sin, cos, pi, atan2

def ellipse_tp(a, b, dx, dy):
    return atan2(dy*b/a, dx)


def elliptical_arc_bbox(x0, y0, rx, ry, start=0.0, end=2*pi, rot=0.0):
    cr = cos(rot)
    sr = sin(rot)

    def P(a):
        x = cos(a)*rx
        y = sin(a)*ry
        return (x*cr - y*sr, x*sr + y*cr)

    def angle(a):
        if a < 0.0:
            return a + 2*pi
        elif a > 2*pi:
            return a - 2*pi
        else:
            return a

    X = [P(start)[0], P(end)[0]]
    Y = [P(start)[1], P(end)[1]]

    start = angle(start)
    end   = angle(end)
    a1    = ellipse_tp(rx, ry, sr, cr)
    a2    = ellipse_tp(rx, ry, -cr, sr)

    for a in map(angle, [a1, a2, a1+pi, a2+pi]):
        if start < end:
            if start <= a <= end:
                x, y = P(a)
                X.append(x)
                Y.append(y)
        else:
            if not (end < a < start):
                x, y = P(a)
                X.append(x)
                Y.append(y)

    return (x0 + min(X), y0 + min(Y)), (x0 + max(X), y0 + max(Y))

Jest również dostępne demko SVG+JavaScript, należy klikać.